فيزياء : الحركة في خط مستقيم

الحركة في خط مستقيم



[mark=CCFF99]>>تمهيد<<[/mark]

هناك كميات فيزيائية لا بد من معرفتها عند دراسة حركة الأجسام :



* المسافة Distance :

إذا تحركت سيارة في طريق مستقيم من الموقع ( أ ) الى الموقع ( ب ) فإن المسافة التي تكون قد قطعتها هي طول المسار المستقيم ( أ ب ) .



وإذا مشيت في مسار مقوس أو متعرج ( ذو زوايا متغيره ) ، يكون طول المسار الذي قطعته هو مقدار المسافة التي قطعتها .

وهكذا تعرف المسافة بين نقطتين بأنها :

طول المسار بينهما .



وتقاس المسافة بوحدات الطول

( متر ، سم ، كم ، .... )

" لاحظ أننا نعين المسافة بمقدارها فقط "

* الإزاحة :


تعرف الإزاحة بأنها :


المسار المستقيم الذي يقطعه الجسم في حركته من نقطه معينة الى النقطة الجديدة

ونرمز له بالحرف اليوناني ( دلتا ( ∆



يقاس مقدار الإزاحة بوحدات الطول أيضاً ( متر ، سم ، كم ، .... )

فلو أخذنا - مثلا - جسم يتحرك من نقطة ما ( x1 ) إلى (x2 )..

فإن إزاحة الجسم هي الفرق بين إحداثيات النقطتين

∆x = x2 - x1

المسافة هي كمية عددية ( قياسية ) تعبر عن طول الطريق الفعلي الذي سلكه الجسم و يمكن وصفها باستخدام رقم ووحدة فيزيائية ، في حين إن الإزاحة هي كمية متجهة تعبر عن بعد الجسم عن نقطة مرجعية ، ويمكن وصفها باستخدام رقم ووحدة فيزيائية واتجاه الإزاحة .

وللتفريق بين مفهومي الإزاحة والمسافة إليك المثال التالي :

في الشكل أعلاه بدأ جسم ما الحركة من نقطة البداية (أ) وسلك الطريق المتعرج إلى ( ب) وبهذا فإن المسافة التي قطعها الجسم هي طول الطريق المتعرج الذي قطعه الجسم.



نقول أن الإزاحة هي الخط المستقيم الذي يصل بين نقطتي البداية ( أ ) والنهاية ( ب) .



ويمكن تمثيل الإزاحة بمتجه يتناسب طوله مع قيمة الإزاحة واتجاهه هو اتجاه إزاحته.

تُعيِّن المسافة بمقدارها فقط ولذا فهي كمية قياسية ( عددية ) .


تُعيّن الإزاحة بمقدارها واتجاهها ، لذا فهي كمية متجهة .

[mark=CCCC99]السرعة المتوسطة :[/mark]

يعرف متوسط السرعة (v ) بأنه :

نسبة الإزاحة إلى التغير في الزمن ( t ) الذي تمت فيه الإزاحة أي :

v=∆x/∆t

حيث : ∆x = x2 - x1

∆t = t2 - t1 ∆

لاحظ أن متوسط السرعة كمية متجهة ؛ ذلك لأن قسمة كمية متجهة على عدد يعطي كمية متجهة ، واتجاه متوسط السرعة هو اتجاه الإزاحة .




و حتى يتضح عليك مفهوم متوسط السرعة إليك هذا المثال :

مثال:

سيارة تتحرك في طريق مستقيم تتحدد موضعها الابتدائي بالاحداثي x1 = 150km ) )

عند الساعة العاشرة وسبع دقائق ،


ثم وصلت الاحداثي x2 = 205 km ) ) عند الساعة العاشرة وواحد وأربعين دقيقة .


احسب السرعة المتوسطة لهذه السيارة



الحل :


تحدد الإزاحة ∆x والفاصل الزمني ∆t الذي حدثت خلال الإزاحة كالتالي :

* نحول من كيلو متر إلى متر:

∆x = x2 - x1

= 55 × 1000 = 55000 m



* نحول الزمن من ساعات إلى ثواني :

∆t = t2 - t1

( 10:41 -10:07= 34 min )

= 34 × 60 = 2040 sec



وعلى ذلك تكون السرعة المتوسطة للسيارة :


= 55000 / 2040 = 26.96 m /sec

[mark=CCCC99]السرعة اللحظية :[/mark]

تعرف بأنها :

سرعة الجسم في لحظة معينة أو عند نقطة على مسارها



أي:

وهذه في الرياضيات تسمى النهايات ...

إذن السرعة اللحظية للجسم هي المشتقة الأولى لمعادلة الإزاحة على الزمن والتي تمثل حركة الجسم

الأمثلة

مثال 1 :

جسم يتحرك حسب العلاقة التالية :

x = 3t2 + 2t - 5

حيث ( x ) المسافة بالمتر ، و( t) الزمن بالثواني ..



احسب السرعة اللحظية عند الزمن t = 2 sec ، وكذلك عند t = 4 sec



الحل :

علمنا أن السرعة عند أي لحظة يحسب بالمشتقة :


إذن سنشتق المسافة بالنسبة للزمن :

v = 6t + 2 ( أ )



والآن سنحسب السرعة اللحظية عند الزمن t = 2 :


بالتعويض عن الزمن في المعادلة ( أ ) سيكون الناتج :

v = 6 ×2 + 2

= 14 m / sec



وبنفس الطريق يكون حساب السرعة اللحظية عند t = 4

v = 6 x 4 + 2

= 26 m / sec

[mark=CCCC99]التسارع[/mark]

عندما تتغير سرعة جسم مع الزمن يقال أن هذا الجسم يتسارع ..

والتسارع كمية متجهة ، قد تكون موجبة ومعنى ذلك أن سرعة الجسم تزيد بمرور الوقت ،

وقد تكون سالبة ومعنى ذلك أن سرعة الجسم تتناقص مع مرور الوقت ..



ويعرف التسارع على أنه :

معدل تغير سرعة الجسم بالنسبة للزمن ، وكما هو الحال في السرعة .


يصنف التسارع إلى تسارع متوسط وتسارع لحظي ..


التسارع المتوسط

التسارع المتوسط ( a ) لجسم تتغير سرعته من قيمة أولية v1 إلى قيمة نهائية v2 ، خلال فترة زمنية مقدارها ∆t = t2 - t1 حيث t2 ، t1 هما اللحظة الزمنية للسرعة الأولى v1 وللسرعة الثانية v2 بالتتابع ؛

هو عبارة عن :

النسبة بين تغير السرعة ∆v إلى الفترة الزمنية التي يحدث التغير خلالها ∆ t

أي أن :

a= ∆v/∆t

ووحدة التسارع هي متر لكل ثانية مربعة (m / sec2 )



وقد يتغير التسارع بين لحظة وأخرى ، وأبسط مثال على ذلك :

أن يضغط سائق على كوابح سيارة برفق فيكون التسارع السالب محدودا،

وقد يزيد السائق من قوة الضغط على الكوابح فتقل قيمة السرة بشدة ( أي يزيد التسارع السالب )



التسارع اللحظي

يحدد على أنه :

يساوي القيمة الحدية للتسارع المتوسط عندما تقترب الفترة الزمنية ∆t من الصفر.

أي أن : a(t-->0)=∆v/∆t

وهكذا يتضح أن التسارع اللحظي لجسم ما هو المشتقة الأولى لدالة سرعة هذا الجسم بالنسبة للزمن.



كما يمكن أن يعرف التسارع على أنه المشتقة الثانية لدالة الموضع x بالنسبة للزمن .

[mark=CCCC99]معادلات الحركة في خط مستقيم[/mark]

هناك ثلاث معادلات رئيسة تعرف بالميكانيكا باسم معادلات الحركة

وتشتق المعادلة الأولى مباشرة من تعريف التسارع ، نفرض أن جسما ما يتحرك بسرعة ابتدائية v0 ، وبتسارع a ، بحيث أصبحت سرعته النهائية v وبعد مرور فترة زمنية مقدارها t ثانية ، بذلك فإنه وفقا لتعريف التسارع a فإنه يكون :

a= ∆v/t

حيث رمزنا للفترة الزمنية التي تسارع خلالها الجسم بالرمز t بدلا من ∆t

ويمكن كتابة العلاقة في الصورة التالية :

v = v0 + a t

وتعرف باسم المعادلة الأولى للحركة ..

وللاشتقاق المعادلة الثانية للحركة ينبغي استرجاع تعريف الإزاحة بدلالة السرعة المتوسطة v(معدل)

فإذا كان x1=0 و عبرنا عن الفترة الزمنية بالرمز t بدلا من ∆t تكون الإزاحة x بدلا من x2 - x1

هي :

x = v* t

(السرعة اعلاه هي معدل السرعة)


وحيث أن سرعة الجسم تتغير بمرور الزمن بسبب تحركه بتسارع منتظم a

فإنه يمكن حساب السرعة المتوسطة بيسر كمتوسط حسابي للسرعة الابتدائية v0 والسرعة النهائية v أي أن :

v = ( v0 + v ) / 2

(السرعة اعلاه هي معدل السرعة)

وبالتعويض عن قيمة في المعادلة الأولى للحركة واستبدال v(معدل) في العلاقة السابقة بقيمتها الجديدة ، فإن :

x = v0 t + ( ½ ) a t^2

وتعرف هذه المعادلة بالمعادلة الثانية للحركة .


وتجدر الإشارة إلى أنه إذا لم تكن إحداثيات الجسم عند اللحظة الابتدائية t1 مساوية للصفر ( أي إذا لم تكن x1 = 0 )

فإنه ينبغي جمع الإزاحة في لحظة الصفر x0 إلى الإزاحة المحسوبة بالعلاقة:

x = v0 t + ( ½ ) a t^2

أي أنه :

x = x0 + v0 t + ( ½ ) a t^2

أما المعادلة الثالثة للحركة فتشتق من كل من المعادلة الأولى والثانية بعد التخلص من الزمن في هاتين المعادلتين ، فمن المعادلة :

v = v0 + a t

يكون الزمن

t=(v-v0)/a

وبالتعويض عن الزمن t في المعادلة:

x = v0 t + ( ½ ) a t2

وبعد إعادة الترتيب فإنها تتخذ الصورة :

v^2 = v0^2 + 2 a x

وهذه هي معادلة الحركة الثالثة .

وعندما تكون الازاحة الابتدائية x0 ≠ 0 فإنه تتخذ المعادلة v^2 = v0^2 + 2 a x

الصورة :

v^2 = v0^2 + 2a( x – x0 )




ويلاحظ أن أي معادلة من معادلات الحركة الثالثة تتضمن أربعة متغيرات من بين المتغيرات الخمسة للحركة ..

فالمعادلة الأولى لا تتضمن الإزاحة ..

والمعادلة الثانية لا تضمن السرعة النهائية للجسم

والمعادلة الثالثة لا تتضمن الزمن

وبالتالي تتمثل أي مسألة من مسائل الحركة في معرفة ثلاثة عناصر ( ثلاثة متغيرات ) ومعرفة المطلوب الرابع ( أي المتغير الرابع )

واختيار المعادلة التي تتضمن هذه المتغيرات الأربعة وتطبيقها لاستنباط المطلوب.

الأمثلة

يدعي صانع سيارات أن السيارات التي ينتجها يمكن أن تزيد سرعتها من السكون حتى

( 140km / hour ) خلال 8 sec

المطلوب:

أ ) عين تسارع السيارة

ب) عين المسافة التي تقطعها السيارة خلال الثواني الثمانية

ج ) ما هي السرعة النهائية للسيارة بعد مرور 10 ثوان على الانطلاق ؟




الحل :


أ ) أولا نحول السرعة من وحدات الكيلومتر / ساعة إلى متر/ ثانية

v= 140 × ( 1000 / 3600 ) = 38.889 m / sec



والآن سنحدد الكميات الثلاث والكمية المطلوبة الرابعة :


السرعة الابتدائية : v = 0

السرعة النهائية : v = 38.889 m / sec

الزمن : t = 8 sec

التسارع : a = ?

ومن هنا يتضح أن معادلة الحركة الأولى هي التي ينبغي استخدامها :

v = v0 + a t

38.889 = 0 + 8 a

a = 4.86 m / sec2



ب ) بعد تعيين التسارع نستخدم الآن المعادلة الثانية ( ويمكننا أيضا استخدام المعادلة الثالثة ) لحساب الإزاحة x :

x = v0 t + ( ½ ) a t2

= 0 + ½ × 4.86 × ( 8 )2

155.5 m =



ج ) السرعة النهائية :

v = v0 + a t

= 0 + 4.86 × 10



= 48.6 m/sec

بسم الله الرحمن الرحيم
شـكــ وبارك الله فيك ـــرا لك ... لك مني أجمل تحية . موفق بإذن الله ... لك مني أجمل تحية .